A conjectura de Euler sobre somas de potências quárticas de números inteiros

Página do item simplificado
dc.contributor.advisor1Oliveira, José Gilvan de
dc.contributor.authorLopes, Gislayni Telles Vieira Santana
dc.contributor.referee1Passamani, Apoenã Passos
dc.contributor.referee2Kaygorodov, Ivan
dc.contributor.referee3Conte, Luciane Quoos
dc.date.accessioned2018-08-01T22:00:14Z
dc.date.available2018-08-01
dc.date.available2018-08-01T22:00:14Z
dc.date.issued2017-07-11
dc.description.abstractIn 1772, Leonard Euler conjectured that the sum of n powers of positive integers of a given exponent n would also be such a power. However, if the number of powers in this sum is less than the exponent, then such sum could not result in an exponent power n. In the present work we will focus on the n = 4 case of the Euler’s conjecture. In a first approach, we will present a counterexample to the conjecture, that is, we will display positive whole solution for the diophantine equation a 4 +b 4 +c 4 = e 4 , which is equivalent to verify that the set of rational points of the surface S1 : r 4 + s 4 + t 4 = 1 is not empty. We will use the theory of elliptic curves and concepts of Number Theory, such as quadratic reciprocity and Legendre’s theorem, in the construction of a method to obtain the counterexample. In a second approach, we will use the group structure of an elliptic curve to show that there is an infinity of positive integer solutions for the above Diophantine equation if we add a quartic power of an integer in that sum.
dc.description.resumoEm 1772, Leonard Euler conjecturou que a soma de n potˆencias de n´umeros inteiros positivos de um dado expoente n tamb´em seria uma tal potˆencia. Contudo, se o n´umero de potˆencias nessa soma fosse inferior ao expoente, ent˜ao tal soma n˜ao poderia resultar em uma potˆencia de expoente n. No presente trabalho vamos nos concentrar no caso n = 4 da Conjectura de Euler. Numa primeira abordagem, vamos apresentar um contraexemplo para a conjectura, ou seja, vamos exibir solu¸c˜ao inteira positiva para a equa¸c˜ao diofantina a 4 + b 4 + c 4 = e 4 , que ´e equivalente a verificar que o conjunto dos pontos racionais da superf´ıcie S1 : r 4 + s 4 + t 4 = 1 ´e n˜ao vazio. Usaremos a teoria de curvas el´ıpticas e conceitos da Teoria dos N´umeros, como a reciprocidade quadr´atica e o teorema de Legendre, na constru¸c˜ao de um m´etodo para obter o contraexemplo. Em uma segunda abordagem, usaremos a estrutura de grupo de uma curva el´ıptica para mostrar que existe uma infinidade de solu¸c˜oes inteiras positivas para a equa¸c˜ao diofantina acima, se acrescentarmos uma quarta potˆencia de um n´umero inteiro nessa soma.
dc.formatText
dc.identifier.urihttp://repositorio.ufes.br/handle/10/7410
dc.languagepor
dc.publisherUniversidade Federal do Espírito Santo
dc.publisher.countryBR
dc.publisher.courseMestrado em Matemática
dc.publisher.departmentCentro de Ciências Exatas
dc.publisher.initialsUFES
dc.publisher.programPrograma de Pós-Graduação em Matemática
dc.rightsopen access
dc.subjectEuler conjectureeng
dc.subjectElliptic curveseng
dc.subjectDiophantine equationseng
dc.subjectEuler, Conjectura depor
dc.subject.br-rjbnEquações diofantinas
dc.subject.br-rjbnCurvas elípticas
dc.subject.cnpqMatemática
dc.subject.udc51
dc.titleA conjectura de Euler sobre somas de potências quárticas de números inteiros
dc.typemasterThesis
Arquivos
Pacote Original
Agora exibindo 1 - 1 de 1
Imagem de Miniatura
Nome:
tese_10701_Dissertação Gislayni Lopes.pdf
Tamanho:
404.56 KB
Formato:
Adobe Portable Document Format
Descrição:
Baixar
Coleções
Mestrado em Matemática